Ecuatia tuturor lucrurilor
De multe ori in stiinta se folosesc ecuatii matematice pentru a descrie anumite cantitati/proprietati/valori/forte - in principiu, pentru cam orice. Cum ar fi sa avem o ecuatie care sa descrie totul?
In mod surprinzator, o astfel de ecuatie exista. Cel putin, pentru descrierea vietii de zi cu zi. Ecuatia nu este valabila in situatiile in care gravitatia devine importanta, si unde e nevoie de contopirea mecanicii cuantice cu relativitatea generala (lucru care in prezent nu este posibil, cele doua fiind in directa opozitie, si asta pentru ca relativitatea generala este o teorie clasica, si nu una cuantica).
Cum arata, deci, ecuatia tuturor lucrurilor? Arata astfel:
In aceasta ecuatie se regasesc toate legile fizicii relevante pentru viata de zi cu zi. Ecuatia reprezinta amplitudinea cuantica pentru tranzitia de la o configuratie de camp la alta, exprimata ca suma tuturor cailor care le-ar putea conecta.
Ecuatia este practic aceeasi cu ecuatia Schrodinger, dar scrisa diferit, si este realizarea lui Richard Feynman, the path-integral formulation of quantum mechanics.
Functia de unda descrie o superpozitie a tuturor posibilelor configuratii ale unui sistem. O configuratie este o valoare a fiecarui camp, in fiecare punct din spatiu. Ecuatia ne spune cat de probabil e ca un sistem sa ajunga intr-o anumita configuratie, daca a plecat de la o alta configuratie. Putem parcurge ecuatia si inapoi in timp, fara niciun fel de problema - este complet reversibila in sens Laplacian. Momentul cand mecanica cuantica incalca reversibilitatea este atunci cand facem o observatie (nu intram din nou in posibilele interpretari a "ce reprezinta, de fapt, o observatie?").
Deci, termenul W este amplitudinea de a trece de la o configuratie a campurilor la alta. Este data de o integrala a tuturor cailor in care campurile ar putea evolua intre timp. O integrala este un mod de a aduna un numar infinit de lucruri infinit de mici, cum ar fi regiunile minuscule descrise de suprafata definita de o curba.
Aici, adunam contributiile din fiecare lucru posibil pe care campurile le-ar putea face intre punctele de inceput si sfarsit, de aceea configuratiile campului se numesc "cai" sau "drumuri".
Ce adunam, mai exact? Pentru fiecare cale pe care un sistem o poate lua, este un numar pe care-l calculam denumit actiunea, notata cu S. Daca sistemul poate devia in tot felul de directii, atunci spunem ca are o actiune mare. Daca se misca mai lin, atunci are o actiune mica. Acest concept este esential in mecanica clasica, deoarece calea pe care un sistem o ia in mecanica clasica este definita de cea care are cea mai mica actiune. Pentru un sistem clasic, definim actiunea si apoi cautam moduri de a o micsora.
In mecanica cuantica, sistemul ia toate caile posibile, nu doar cea permisa de mecanica clasica. Fiecarui factor ii este asociat un factor de faza, exp{iS} - asta inseamna ca luam numarul Euler e = 2,7181... si-l ridicam la puterea i, adica numarul imaginar dat de radical din -1, iar apoi inmultim cu actiunea S pentru cale.
Daca nu ati inteles nimic, pana acum, trebuie sa va intrebati de ce ati inceput sa cititi aceasta postare in primul rand. Daca ati inteles, atunci puteti continua, nu va deveni mai greu de atat.
Factorul de faza exp{iS} este un numar complex, cu o parte reala si una imaginara. Fiecare va fi uneori pozitiva, uneori negativa. Suma acestora va fi o colectie de numere negative si numere pozitive, care vor tinde sa se anuleze unele pe altele, lasandu-ne cu un rezultat mic. Exceptia este atunci cand un grup de cai apropiate au valori similare pentru actiune - atunci factorii de faza se vor aduna in loc sa se anuleze, si vor da calea clasica permisa (asta se intampla in jurul valorii minime).
Deci cea mai mare probabilitate cuantica este asociata cu o evolutie ce pare aproape clasica. De aceea fizica la nivelul vietii de zi cu zi este bine reprezentata de mecanica clasica, si nu de cea cuantica - comportamentul clasic da cea mai mare contributie la probabilitatea tranzitiilor cuantice.
Acum sa luam ecuatia bucata cu bucata:
Mecanica cuantica:
Amplitudinea este scrisa ca o integrala (simbolul ∫), peste o colectie de campuri, urmata de "exp i...". Campurile incluse sunt date de notatia [Dg][DA][DΨ][Dϕ]. D descrie partile minuscule pe care le vom aduna in integrala, iar celelalte simboluri sunt campurile. Campul gravitational este g. Celelalte campuri bosonice (electromagnetic, tare si slab nuclear) sunt toate grupate sub A. Toti fermionii sunt grupati sub Ψ (litera greaca psi). Bosonul Higgs este ϕ (litera greaca phi). exp inseamna "e la puterea...", iar i este radical din -1. Tot ce urmeaza dupa i este actiunea S.
Pe scurt, ceea ce spunem este "integreaza, peste toate caile pe care toate campurile le pot lua, o cantitate data ridicand e la puterea i inmultit cu actiunea".
Actiunea este partea grea (unii fizicieni isi dedica o mare parte din viata scriind diferitele posibile actiuni pentru diferite colectii de campuri).
In mod surprinzator, o astfel de ecuatie exista. Cel putin, pentru descrierea vietii de zi cu zi. Ecuatia nu este valabila in situatiile in care gravitatia devine importanta, si unde e nevoie de contopirea mecanicii cuantice cu relativitatea generala (lucru care in prezent nu este posibil, cele doua fiind in directa opozitie, si asta pentru ca relativitatea generala este o teorie clasica, si nu una cuantica).
Cum arata, deci, ecuatia tuturor lucrurilor? Arata astfel:
In aceasta ecuatie se regasesc toate legile fizicii relevante pentru viata de zi cu zi. Ecuatia reprezinta amplitudinea cuantica pentru tranzitia de la o configuratie de camp la alta, exprimata ca suma tuturor cailor care le-ar putea conecta.
Ecuatia este practic aceeasi cu ecuatia Schrodinger, dar scrisa diferit, si este realizarea lui Richard Feynman, the path-integral formulation of quantum mechanics.
Functia de unda descrie o superpozitie a tuturor posibilelor configuratii ale unui sistem. O configuratie este o valoare a fiecarui camp, in fiecare punct din spatiu. Ecuatia ne spune cat de probabil e ca un sistem sa ajunga intr-o anumita configuratie, daca a plecat de la o alta configuratie. Putem parcurge ecuatia si inapoi in timp, fara niciun fel de problema - este complet reversibila in sens Laplacian. Momentul cand mecanica cuantica incalca reversibilitatea este atunci cand facem o observatie (nu intram din nou in posibilele interpretari a "ce reprezinta, de fapt, o observatie?").
Deci, termenul W este amplitudinea de a trece de la o configuratie a campurilor la alta. Este data de o integrala a tuturor cailor in care campurile ar putea evolua intre timp. O integrala este un mod de a aduna un numar infinit de lucruri infinit de mici, cum ar fi regiunile minuscule descrise de suprafata definita de o curba.
Aici, adunam contributiile din fiecare lucru posibil pe care campurile le-ar putea face intre punctele de inceput si sfarsit, de aceea configuratiile campului se numesc "cai" sau "drumuri".
Ce adunam, mai exact? Pentru fiecare cale pe care un sistem o poate lua, este un numar pe care-l calculam denumit actiunea, notata cu S. Daca sistemul poate devia in tot felul de directii, atunci spunem ca are o actiune mare. Daca se misca mai lin, atunci are o actiune mica. Acest concept este esential in mecanica clasica, deoarece calea pe care un sistem o ia in mecanica clasica este definita de cea care are cea mai mica actiune. Pentru un sistem clasic, definim actiunea si apoi cautam moduri de a o micsora.
In mecanica cuantica, sistemul ia toate caile posibile, nu doar cea permisa de mecanica clasica. Fiecarui factor ii este asociat un factor de faza, exp{iS} - asta inseamna ca luam numarul Euler e = 2,7181... si-l ridicam la puterea i, adica numarul imaginar dat de radical din -1, iar apoi inmultim cu actiunea S pentru cale.
Daca nu ati inteles nimic, pana acum, trebuie sa va intrebati de ce ati inceput sa cititi aceasta postare in primul rand. Daca ati inteles, atunci puteti continua, nu va deveni mai greu de atat.
Factorul de faza exp{iS} este un numar complex, cu o parte reala si una imaginara. Fiecare va fi uneori pozitiva, uneori negativa. Suma acestora va fi o colectie de numere negative si numere pozitive, care vor tinde sa se anuleze unele pe altele, lasandu-ne cu un rezultat mic. Exceptia este atunci cand un grup de cai apropiate au valori similare pentru actiune - atunci factorii de faza se vor aduna in loc sa se anuleze, si vor da calea clasica permisa (asta se intampla in jurul valorii minime).
Deci cea mai mare probabilitate cuantica este asociata cu o evolutie ce pare aproape clasica. De aceea fizica la nivelul vietii de zi cu zi este bine reprezentata de mecanica clasica, si nu de cea cuantica - comportamentul clasic da cea mai mare contributie la probabilitatea tranzitiilor cuantice.
Acum sa luam ecuatia bucata cu bucata:
Mecanica cuantica:
Amplitudinea este scrisa ca o integrala (simbolul ∫), peste o colectie de campuri, urmata de "exp i...". Campurile incluse sunt date de notatia [Dg][DA][DΨ][Dϕ]. D descrie partile minuscule pe care le vom aduna in integrala, iar celelalte simboluri sunt campurile. Campul gravitational este g. Celelalte campuri bosonice (electromagnetic, tare si slab nuclear) sunt toate grupate sub A. Toti fermionii sunt grupati sub Ψ (litera greaca psi). Bosonul Higgs este ϕ (litera greaca phi). exp inseamna "e la puterea...", iar i este radical din -1. Tot ce urmeaza dupa i este actiunea S.
Pe scurt, ceea ce spunem este "integreaza, peste toate caile pe care toate campurile le pot lua, o cantitate data ridicand e la puterea i inmultit cu actiunea".
Actiunea este partea grea (unii fizicieni isi dedica o mare parte din viata scriind diferitele posibile actiuni pentru diferite colectii de campuri).
Spatiu si timp:
Actiunea este o integrala peste tot spatiul, pe perioada de timp dintre configuratia initiala si configuratia finala. De aici provine notatia ∫d4x - x reprezinta coordonatele tuturor dimensiunilor spatiotemporale, iar 4 este dat de faptul ca spatiu-timpul este patru-dimensional (trei dimensiuni spatiale si una temporala). Factorul aditional este radical din -g, si are legatura cu curbura spatiotemporala data de gravitatie - mai exact tine cont de faptul ca volumul spatiotemporal asupra caruia facem integrarea este afectat de modul in care spatiu-timpul este curbat.
Toti ceilalti termeni dintre [ ] sunt diferitele contributii la actiune de la diferitele campuri - atat proprietatile intrinsece cat si modul in care interactioneaza unele cu altele. Categoriile sunt: gravitatia, alte forte, materie si Higgs.
Gravitatie:
R este scalarul curburii, si este dat de cata curbura spatiotemporala exista intr-un anumit punct. Este inmultit cu o constanta m2p/2, unde mp este masa Planck. Este un mod mai complicat de a exprima constanta gravitationala Newtoniana G, care caracterizeaza puterea fortei gravitationale: m2p/2 = 1/(8πG). Scalarul curburii R poate fi calculat din campul gravitational, si actiunea pentru relativitatea generala este proportionala cu integrala lui R asupra unei regiuni din spatiu-timp. Minimizand acea integrala ne intoarce ecuatia de camp Einstein pentru gravitatie.
Alte forte:
Aici avem doua aparitii ale lui F, cu cateva subscripturi/suprascripturi. F este tensorul puterii campului, si include contributii din electromagnetism si fortele tare si slaba nucleare - practic ne spune cat de mult campul vibreaza in spatiu-timp, la fel cum scalarul curburii ne spune cat de mult geometria spatiotemporala vibreaza. Pentru electromagnetism, acest tensor incorporeaza atat campul electric cat si cel magnetic.
Aceste subscripturi si suprascripturi eticheteaza diferitele subcantitati, cum ar fi campurile (fotoni, gluoni, bosoni W sau Z) dar si care parte a campurilor (de exemplu, partea campului electric de-a lungul axei x).
Atunci cand vedem doua cantitati F cu aceiasi indici, nu este altceva decat o scurtatura pentru "suma peste toate posibilitatile".
Materie:
Toate campurile de materie sunt fermioni, reprezentati colectiv prin litera Ψ. Primul termen are doua aparitii ale literei Ψ, una cu litera γ(gamma) si un alt D. γ reprezinta matricele Dirac, care sunt esentiale pentru modul in care fermionii se comporta (de exemplu, pentru faptul ca fermionii au atat particule cat si antiparticule). D este derivata, sau rata de schimbare a campului. Acest termen ne spune cat de mult campurile se schimba in spatiu si timp. Ascuns in derivata este un cuplaj, sau interactiune, intre fermioni si bosoni, care depinde de sarcina electrica a fermionilor. De exemplu, modul in care un fermion interactioneaza cu un foton depinde de acest termen din actiune.
Termenul de langa se refera la un alt mod de cuplaj, si anume cuplajul dintre fermioni si campul Higgs ϕ. Avem deci doi Ψ si un ϕ, adica descrierea a cum fermionii si campul Higgs interactioneaza.
Vij face referire la faptul ca fermionii se pot amesteca cu alti fermioni - atunci cand un cuarc top se descompune, se descompune intr-o amestecatura de cuarci down, strange si bottom.
De asemenea, un camp fermionic are un subscript L iar celalalt un subscript R. Asta inseamna ca sunt campuri de "mana stanga" sau de "mana dreapta", cantitati care definesc spin-ul particulei reprezentata de acel camp. Natura trateaza particulele de mana stanga diferit de cele de mana dreapta. Fenomenul asociat cu acest comportament se cheama incalcarea paritatii, si a fost un soc cand a fost descoperit prima data (acum este vazut ca un lucru natural).
Ultima parte din acest termen, h.c., este conjugatul hermitian, care nu e altceva decat un mod sofisticat de a spune ca primul termen este un numar complex, dar ca actiunea trebuie sa fie un numar real, asa ca vom scadea partea imaginara si vom ramane doar cu partea reala.
Campul Higgs:
Prima parte este termenul kinetic, reprezentand cat de mult se schimba campul, iar al doilea termen este cel de potential, reprezentand cat de multa energie se afla in camp chiar si atunci cand acesta nu se schimba. Acest termen potential este cel care face campul Higgs special. Campul Higgs vrea sa stea, la fel ca orice alt camp, la cea mai mica valoare posibila. Insa spre deosebire de celelalte campuri, starea cu energie minima in care campul Higgs se afla are o valoare non-nula. Energia potentiala a campului Higgs este mai mare cand campul este la zero decat daca este la o valoare non-nula. Acest lucru face campul Higgs sa fie simtit si in "vid", si sa afecteze toate celelalte particule cu care interactioneaza si care se deplaseaza prin el.
Aceasta este descrierea intregii ecuatii.
Totusi, ecuatia este valabila doar daca puterea campului gravitational este foarte slaba - ea inceteaza sa mai fie valabila atunci cand gravitatia devine puternica, cum ar fi la momentul Big Bangului sau in interiorul unei gauri negre.
Un singur termen a ramas ne-explicat, si anume semnul de subscript al integralei de la inceput, k<Λ. k este numarul de unda a unui anumit mod de camp, iar Λ este granita ultravioleta. Ne putem gandi la fiecare camp ca fiind o combinatie de moduri, fiecare fiind o vibratie la o anumita lungime de unda. Numarul de unda este o maniera de etichetare a acestor moduri. Un k mai mare inseamna o energie mai mare.
In cazul nostru, vrem campuri care nu vibreaza prea energic - campuri de energie scazuta, slabe, dar indeajuns de puternice pentru a descrie toate particulele si campurile care definesc lumea din jurul tau.
Aceasta ecuatie are, deci, o aplicabilitate foarte specifica si bine definita - particule interactionand la energii cu mult mai joase decat granita ultravioleta - si nu pretindem ca ar functiona peste acest prag. Poate descrie atractia gravitationala a Soarelui asupra Pamantului, dar nu si ce s-a intamplat la Big Bang.
Ce concluzie trebuie sa tragem din tot acest post? Concluzia este ca deja cunoastem toate campurile relevante la energiile la care traim noi. Nu mai exista loc pentru noi campuri sau particule care sa joace un rol important (sau chiar si minuscul) in interactiunea cu particulele din care suntem formati, pentru ca le-am fi descoperit de mult - nu exista loc de viata dupa moarte, telekinezie, sau alte lucruri stiintifico-fantastice.
Nu stim totul (de exemplu, nu stim ce este dark matter, sau cum sa exprimam gravitatia cuantica), dar aceste lucruri nu sunt relevante pentru nivelul de energie la care ne traim vietile - intelegem foarte bine cum stau lucrurile la nivelurile de energie scazuta, inclusiv cum functioneaza gravitatia. Orice particula relevanta pentru acest nivel de energie ar fi fost descoperita de mult, si poate fi derivata usor prin diagrame Feynman. O particula la energii mai ridicate ar fi irelevanta pentru viata de zi cu zi, pentru ca s-ar dezintegra practic instantaneu si nu ar avea timp sa interactioneze (ca sa nu mai spunem ca ar avea nevoie de o cantitate imensa de energie pentru a fi creata - pentru a putea excita campul cuantic de care apartine). Un boson Higgs, de exemplu, se dezintegreaza in aproximativ 1.6*10-22 secunde, adica 1.6 zecimi de miliardimi de trilionimi de secunda.
Daca vei auzi pe cineva in viitor ca a descoperit o particula esentiala pentru viata de zi cu zi, care explica astrologia sau alt fenomen paranormal, nivelul de scepticism cu care trebuie sa abordezi o astfel de stire trebuie sa fie foarte, foarte ridicat. De ce? Tocmai datorita a ceea ce ai citit in aceasta postare.
Comentarii