Timpul, partea a doua - Paradoxul Bunicului

In prima parte a acestei serii am vazut ca timpul este o dimensiune, ca este strans legat de spatiu, si ca este relativ la observator. Cu alte cuvinte, timpul este personal. Evenimentele, in schimb, sunt absolute - odata intamplate, raman intamplate pentru totdeauna.

La o privire naiva peste aceste detalii, am putea concluziona ca nu este nimic, pana la urma, extraordinar in aceasta poveste. Dar dupa cum vom vedea in acest articol, este.

Daca va intrebati "ce poate fi asa extraordinar la cele scrise mai sus?" - raspunsul la aceasta intrebare se dovedeste a fi foarte complicat. Dar nu in modul "uzual" de "foarte". Ci in modul de fantastic de complicat. Acum nu vorbim doar despre complexitate (unde un subiect poate fi complex (multe detalii), dar usor de inteles). In acest caz vorbim despre complex si in acelasi timp foarte dificil de inteles.

De aceea, acest articol va fi cel mai complex, complicat si dificil de inteles articol pe care l-am scris vreodata. Paradoxul Bunicului este unul dintre cele mai cunoscute paradoxuri din fizica, daca se confirma ca putem calatori inapoi in timp. Daca vreti un raspuns rapid la aceasta intrebare, acesta este "cel mai probabil, nu". Dar nu avem un raspuns satisfacator. Sa spui ca ceva nu este posibil si apoi sa te prefaci ca nu trebuie sa si explici de ce - acest lucru nu este o explicatie - este doar un enunt. Pana la urma, legile fizicii sunt reversibile in timp (sau, cel putin, credem ca sunt).

Vom trata in acest articol motivele pentru care, cel mai probabil, calatoria inapoi in timp nu este posibila, si vom ignora momentan alte aspecte ale timpului (de exemplu, de ce timpul curge (sau pare ca curge) intr-o anumita directie - voi scrie si despre acest lucru, care este la randul sau foarte interesant, dar nu in aceasta postare).

Adevarul este ca, daca vrei sa abordezi in detaliu problema temporala, ai nevoie de mult, mult mai mult spatiu decat un simplu articol - sunt carti intregi despre timp, de sute de pagini. Voi incerca insa sa fac un rezumat foarte detaliat, pe cat este posibil, asupra punctelor importante ale discutiei.

Back to the future

In filmul "Back to the future", povestea filmului este inconsistenta: Pe 25 octombrie 1985, George McFly este nefericit. Fiul lui George, Marty, calatoreste inapoi in timp in 1955 si se intalneste cu tatal sau care era tanar. Ca rezultat al intalnirii lor, George isi depaseste limitele si ajunge sa fie un om de succes. Marty se intoarce pe 25 octombrie 1985 si isi intalneste tatal schimbat si fericit. George isi petrece viata mai departe fiind fericit.

Problema este ca un astfel de scenariu nu este consistent. De ce? Pentru ca la momentul din timp t, pe 25 octombrie 1985, am stabilit ca George este nefericit. In urma actiunilor fiului sau, atunci cand fiul sau se intoarce, tot la momentul din timp t, George este fericit. Cum insa evenimentele sunt absolute, nu putem avea un George nefericit si un George fericit in acelasi timp (nu vorbim despre multiversul cuantic, aici, astfel incat ambele sa fie posibile). Avem, asadar, o inconsistenta - datele de la inceputul povestii nu sunt aceleasi cu datele de la sfarsitul povestii, pentru acelasi moment din timp t.

Daca va ganditi ca de fapt nu vorbim despre acelasi moment din timp, din moment ce ne referim la inceputul si sfarsitul povestii, analogia corecta este aceasta: daca un martor depune o marturie si, la inceputul marturiei spune ceva despre un eveniment iar la sfarsitul acesteia spune altceva, atunci marturia acelui martor este inconsistenta. In discutie este evenimentul.

Pentru ca o poveste sa fie consistenta, ea trebuie sa contina detalii despre evenimente care nu sunt contrazise mai tarziu cu detalii diferite despre acelasi eveniment: daca George a fost nefericit la inceputul povestii, este obligatoriu ca George sa fie nefericit si la sfarsitul povestii, la momentul din timp t. Altfel avem de-a face cu o inconsistenta. Pentru ca povestea filmului sa fie consistenta, trebuie ca Marty sa se intoarca in timp, iar atunci cand revine in "prezent" sa-si gaseasca tatal exact la fel de nefericit.

Cum putem reconcilia aceasta problema? Daca George se naste si ajunge nefericit la timpul t, aceasta este linia sa temporala. Marty intervine, si linia temporala a lui George se modifica astfel incat George se naste si ajunge sa fie fericit la timpul t. Pentru a rezolva aceasta problema, putem spune ca discutam despre doua notiuni distincte de timp. Unul este cel obisnuit, linia temporala a lui George. Celalalt timp este conceptul de super-timp: acesta descrie cum linia temporala a lui George se modifica:

Dupa cum se poate vedea, interventia lui Marty in 1955 modifica linia temporala a lui George in super-timp. In acest caz, ambele povesti sunt adevarate: George ajunge sa fie nefericit in la momentul t din timp si momentul t1 din super-timp, si fericit la momentul t din timp si momentul t2 din super-timp. Astfel, povestea nu mai este inconsistenta, pentru ca sunt doua evenimente diferite atunci cand luam in calcul supertimpul - este acelasi moment in timp, dar un moment diferit in super-timp.

Problema cu acest scenariu este ca nu exista niciun fel de dovada ca ar exista un astfel de concept precum supertimpul; este, insa, un mod de a face povestea consistenta.

Interpretarea lumilor multiple

Mai exista o metoda prin care putem face povestea consistenta, insa vom intra in alte inconsistente/probleme. De fapt, repercusiunile sunt si mai importante, dupa parerea mea.

Una dintre interpretarile posibile ale mecanicii cuantice o reprezinta The Many Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, formulata de Hugh Everett. In aceasta interpretare (ce are motive bune sa fie luata in serios) toate evenimentele care se pot intampla se vor intampla. Astfel, atunci cand are loc o observatie, functia de unda cuantica a acelui sistem nu se prabuseste asa dupa cum considera Interpretarea Copenhaga a lui Niels Bohr (avand astfel o singura "lume", si anume cea observata atunci cand functia de unda se prabuseste) ci, in schimb, diferitele posibilitati in care functia de unda putea fi observata se intampla toate in acelasi timp, intr-un spatiu multidimensional denumit spatiul Hilbert.

Exista un proces de decoerenta atunci cand acest lucru se intampla, in urma caruia lumile multiple nu pot comunica intre ele - singura lume pe care o observi este lumea in care "te afli", chiar daca si celelalte exista.

Astfel, ne putem imagina ca Marty se intoarce in timp, isi ajuta tatal si apoi se intoarce in 1985 pentru a-si gasi tatal fericit. De ce este acest lucru posibil in interpretarea lumilor multiple? Pentru ca Marty atunci cand a calatorit inapoi in timp a facut asta intr-un alt Univers - acolo a afectat lucrurile si, calatorind in viitor ("inapoi" spre 1985), a calatorit in acea ramura a multiversului, unde tatal sau este intr-adevar fericit. Niciun paradox... oare?

 Intr-adevar, nu avem niciun paradox temporal, aici. Povestea este consistenta. Nu a spus nimeni ca daca Marty va calatori din ramura Universului sau A in ramura B, tatal lui Marty in ramura B va fi nefericit in 1985. Povestea este, deci, consistenta.

Dar acum avem alte probleme:

1) Multiversul cuantic trebuie sa existe pentru ca aceasta poveste sa fie posibila

2) Cum a calatorit Marty intr-o alta ramura a multiversului cuantic, depasind decoerenta?

3) Daca evenimentele calatoriei in timp a lui Marty din 25 octombrie 1985 din ramura A a multiversului cuantic si sosirii lui Marty in 1955 in ramura B a multiversului cuantic s-au intamplat, atunci acestea sunt absolute si raman intamplate. Ceea ce inseamna ca stim cu certitudine ca au avut loc, ceea ce inseamna ca cele doua ramuri comunica si ca nu putea fi altfel - sunt obligate sa comunice - altfel, povestea ar fi inconsistenta, pentru ca evenimentele nu ar mai avea certitudine. Cum ramane cu natura probabilistica a mecanicii cuantice?

Sigur, putem spune ca poate ca premisa de la care plecam nu este corecta: poate ca evenimentele nu sunt, pana la urma, absolute. Dar nu avem niciun fel de indiciu sau motiv pentru a crede asta.

Asadar, chiar si prin calatoria lui Marty inapoi in timp intr-o alta ramura a multiversului cuantic, tot intampinam probleme, de alta natura de aceasta data insa.

Paradoxul buclei infinite

Sa ne imaginam un alt scenariu: ai 21 de ani si un batranel apare la usa ta si iti spune cum sa construiesti o masina a timpului. Dupa multi ani de munca, reusesti sa o construiesti. Calatoresti in timp dupa bunul plac pana la batranete, cand decizi sa te intorci in timp la momentul cand aveai 21 de ani pentru a-i explica versiunii tale tinere cum sa construiasca o masina a timpului.

Povestea nu este logic inconsistenta: nu exista niciun fel de eveniment care sa fie incalcat in aceasta poveste, niciun moment t in care un eveniment e sa-si schimbe valoarea de-a lungul povestii. Dar este ciudata. Constructia masinii timpului la batranete este cauza pentru care ai calatorit in timp pentru a-i spune versiunii tale tinere cum sa construiasca o masina a timpului, astfel incat sa poti calatori la batranete inapoi in timp si sa-i spui asta. Informatia apare, practic, de nicaieri. 

Paradoxul Bunicului

Bruno isi uraste bunicul, dar nu fara motive: bunicul sau a fost un betiv obsedat de jocuri de noroc, care a pus la cale o frauda de mare amploare si a saracit o multime de oameni. Bruno ar face orice sa schimbe asta, asa ca isi propune sa se intoarca in timp si sa-si omoare bunicul inainte ca acesta sa comita toate lucrurile de mai sus.

Bruno construieste o masina a timpului si se intoarce in anii '30, luand cu el o pusca cu luneta si munitie, inainte de frauda si inainte ca bunicul sau sa aiba copii. Fost lunetist de elita in armata, Bruno se suie pe acoperisul unei biserici, tinteste spre capul bunicului sau, clopotul bate, Bruno se pregateste sa traga si...

Ce se intampla mai departe? Sa presupunem ca Bruno isi ucide bunicul. Bunicul nu va avea copii. Deci mama lui Bruno nu se va naste. Deci Bruno nu se va naste. Deci Bruno nu se va intoarce in timp. Deci Bruno nu-si va ucide bunicul, pana la urma. Ajungem intr-un paradox.

Dar daca Bruno nu-si ucide bunicul, ce-l opreste?

Pe de-o parte, stim ca Bruno nu-si poate ucide bunicul, pentru ca povestea ar fi inconsistenta. Pe de alta parte, e greu de imaginat ce l-ar putea opri.

Am putea concluziona ca asta demnostreaza ca pur si simplu nu putem calatori in timp, deoarece calatoria in timp duce la povesti contradictorii, precum desenarea unui patrat care este cerc (nu luam iluziile optice in calcul, aici).

Nu ne grabim insa cu concluziile? Ne putem imagina ca Bruno se razgandeste si nu trage in bunicul sau, pana la urma. Sau ca un caine latra si il sperie pe bunicul sau, astfel incat acesta se misca intr-o parte si Bruno rateaza tinta. In acest caz, povestea intoarcerii in timp a lui Bruno este consistenta.

Asadar, avem parte de posibile continuari ale povestii care sa faca povestea consistenta si continuari care sa o faca inconsistenta. Problema este ca singurele moduri in care povestea poate continua trebuie sa fie doar cele in care aceasta este consistenta. Si pentru acest lucru trebuie sa gasim o explicatie - nu putem spune ca lucrurile trebuie sa fie intr-un fel fara o explicatie solida.

Revenind la desenarea unei figuri care sa fie atat un patrat cat si un cerc, aceasta este o analogie foarte buna pentru paradoxul bunicului: motivul pentru care nu poti desena un patrat care sa fie si cerc este acela ca nu exista nicio configuratie posibila a particulelor de cerneala astfel incat figura rezultata sa fie atat patrat cat si cerc. Cu alte cuvinte, legile fizicii impiedica o astfel de alcatuire a atomilor.

Acelasi lucru se aplica si pentru crima bunicului: nu exista nicio alcatuire a atomilor din Univers din care sa rezulte evenimentele:

1) Bunicul este ucis de catre Bruno
2) Bunicul are mai apoi copii, astfel incat mama lui Bruno exista, astfel incat Bruno exista, astfel incat Bruno exista si se intoarce in timp sa comita punctul 1)

Astfel, singurele moduri coerente prin care putem continua povestea sunt reprezentate de scenarii in care bunicul lui Bruno nu este ucis, la fel cum singurele moduri coerente prin care putem continua povestea desenarii unui patrat sunt reprezentate de scenariile in care patratul nu este si un cerc.

Problema cu aceasta explicatie, cel putin pentru mine, este aceea ca nu este convingatoare. Suna ca si cum legile fizicii, matematicii si logicii conspira impotriva scenariilor in care bunicul este ucis, pana la urma. Care este mecanismul prin care acestea reusesc sa conspire? Daca gasiti explicatia de mai sus la fel de nesatisfacatoare ca mine, cititi in continuare.

Exista doua posibile abordari:

1) Paradoxul Bunicului este o problema deoarece pune in discutie daca sau daca nu pot legile fizicii  impiedica scenariile inconsistente, fara sa faca o calatorie inapoi in timp imposibila;
2) Paradoxul Bunicului este o problema pentru ca arata ca o calatorie inapoi in timp este incompatibila cu liberul arbitru.

Calatoria inapoi in timp fara paradox

Acum ajungem la partea dificila a acestui articol: cum ar arata un sistem de legi ale fizicii care sa permita calatoria inapoi in timp, insa sa nu permita paradoxurile descrise mai sus?

Un mod ar fi neprincipial: ne putem imagina o forta anti-paradox care sa intervina si sa devieze glontul lui Bruno astfel incat bunicul sau sa nu fie ucis.

Un alt mod ar fi sa ne imaginam conditiile initiale ale Universului astfel incat o calatorie inapoi in timp care sa ajunga intr-un paradox sa nu fie posibila.

Insa noi dorim sa descoperim daca poate exista un set de legi ale fizicii care sa permita calatoria inapoi in timp fara sa permita existenta paradoxurilor, ceea ce, sa recunoastem, pare extraordinar de dificil de imaginat.

Pentru a face acest lucru, vom lucra cu un model al realitatii "de jucarie" - un model mai simplu, prin intermediul caruia sa incercam sa aflam daca se poate sau nu sa construim un astfel de set de legi.

In realitate, calatoria inapoi in timp este permisa de anumite solutii la ecuatiile lui Einstein, in sensul in care exista drumuri prin spatiu-timp prin care sa ajungem de unde am plecat, fara sa calatorim mai rapid decat lumina (vom discuta si despre acest lucru, dar nu in acest articol).

Sistemul de legi pe care-l voi prezenta a fost elaborat de catre filozofii Frank Arntzenius si Tim Maudlin, si guverneaza o lume formata din doua dimensiuni: o dimensiune temporala si una spatiala (similara cu spatiul Minkowski din relativitatea speciala, unde dimensiunea spatiala era de fapt reprezentarea celor trei dimensiuni spatiale din viata reala).

Vom reprezenta spatiul-timpul astfel:

Axa x reprezinta spatiul, axa y reprezinta timpul. Cu cat esti mai aproape de origine, cu atat "mai devreme" esti pe axa temporala.

Evenimentele care au loc la momentul din timp t corespund liniei punctate.

Locatia particulei A la momentul t este marcata cu a, iar locatia particulei B la momentul t este marcata cu b.

Particula A este stationara, deci se deplaseaza numai "in sus", adica in timp, pozitia sa nemodificandu-se. Particula B se deplaseaza spre dreapta la viteza constanta, asa ca traiectoria sa este descrisa de o linie pe diagonala, spre dreapta.

Vom presupune ca particulele noastre respecta doua legi simple:

Legea I:

In absenta coliziunilor, particulele care sunt stationare raman stationare, iar particulele care se deplaseaza la viteza constanta se vor deplasa in continuare cu viteza constanta (este versiunea noastra a primei legi a lui Newton).

Legea II: 

Atunci cand particulele se ciocnesc isi schimba intre ele vitezele (este versiunea noastra a celei de-a treia legi a lui Newton). Putem reprezenta grafic aceasta lege astfel:

Gauri de vierme

Acum sa ne imaginam ca universul nostru contine o gaura de vierme, reprezentata astfel:

In aceasta diagrama, punctele din spatiu-timp de la linia W- sunt identificate (continuate) cu punctele de la linia W+.

Ce inseamna asta?

1. Cand o particula atinge linia W- de dedesubt, aceasta isi va continua drumul cu aceeasi viteza si in aceeasi directie de la linia W+. Practic, particula A din figura de mai sus atinge linia W- si calatoreste in timp la linia W+, dupa care isi continua mai departe drumul prin spatiu-timp.

2. Cand o particula atinge linia W+ de dedesubt, aceasta isi va continua drumul cu aceeasi viteza si in aceeasi directie de la linia W-. Practic, particula B din figura de mai sus atinge linia W+ si calatoreste in timp la linia W-, dupa care isi continua mai departe drumul prin spatiu-timp.

In cazul afisat mai sus, particula A calatoreste in viitor (de la linia W- la linia W+), iar particula B calatoreste in trecut (de la linia W+ la linia W-).

Nedeterminare

In lipsa gaurilor de vierme, lumea pe care am construit-o este perfect determinista. Cu alte cuvinte, daca stim pozitiile si vitezele tuturor particulelor din univers putem calcula pozitiile si vitezele particulelor la orice moment din timp. Acesta este cazul urmator:

Nimic complicat pana aici. Dar acum sa introducem gaurile de vierme. Ce se intampla in acest caz?

In scenariul de mai sus, la momentul din timp t nu exista nicio particula. Daca am avea determinism, am putea spune ca din moment ce la momentul din timp t nu exista nicio particula, atunci nu exista nicio particula la niciun moment din timp ce nu este t din istoria universului nostru: cu alte cuvinte, universul nostru a fost, este si va fi gol.

Dar legile noastre nu determina raspunsul la intrebarea "daca exista sau nu particule in zona din spatiu-timp definita de liniile W- si W+". Acolo poate exista o particula, pot exista doua, pot exista un milion, singura limita fiind data de dimensiunea gaurii de vierme. In exemplul de mai sus avem doua particule in zona din spatiu-timp definita de liniile W- si W+ ce corespond gaurii de vierme.

Paradox

Acum sa presupunem ca lumea noastra contine o oglinda: un obiect stationar care reflecta particulele inversandu-le viteza.

Vom folosi aceasta oglinda pentru a construi Paradoxul Bunicului in modelul nostru de univers:

In modelul de mai sus, particula A este pe o traiectorie paradoxala: Calatoreste in diagonala catre dreapta, trece prin punctul a si intra in gaura de vierme in punctul b, ajungand in trecut (de pe linia W+ la linia W-). De acolo isi continua calatoria pana cand ajunge la punctul c de pe oglinda.

Intrebarea e - ce se intampla mai departe?

Daca incercam sa completam traiectoria particulei A ca in figura de mai sus, atunci particula A va fi blocata sa intre in regiunea din gaura de vierme la punctul a de catre ea insasi. Si nu doar atat: va fi blocata si din ajungerea in punctul b.

Ajunge, deci, particula A in regiunea gaurii de vierme sau nu? Daca ajunge, atunci n-ar fi trebuit, din moment ce intrarea in regiunea gaurii de vierme ar fi trebuit sa fie blocata de o versiune a sa din viitor. Daca nu ajunge, ar fi trebuit sa ajunga, din moment ce nu exista nimic care sa o blocheze.

Cu alte cuvinte, am ajuns intr-un paradox dat de legile pe care le-am stabilit pentru acest model simplu de Univers.

Totusi, legile pe care le avem permit altceva: particula A poate fi blocata din a intra pe traiectoria paradoxala de o alta particula:

In acest caz, situatia este similara cu ceea ce am avut inainte, insa acum avem inca doua particule ce se afla in regiunea gaurii de vierme: particulele B si C. Particula B impiedica particula A sa intre in gaura de vierme si deci impiedica paradoxul.

Prin analogie cu lumea reala, este ca si cum ceva l-ar impiedica pe Bruno sa-si ucida bunicul.

Ce se intampla mai sus, mai exact?

• Particula A se deplaseaza pe diagonala catre dreapta pana ajunge in punctul a, unde se ciocneste cu particula B si este deviata catre stanga sus.

• Particula B este blocata intr-o bucla infinita: pleaca din punctul b la momentul W- deplasandu-se spre stanga sus, pana cand se ciocneste de particula A la punctul a, moment in care este deviata spre dreapta sus pana cand ajunge in punctul b la momentul W+. Apoi, particula B se ciocneste cu particula C, si ambele ajung in punctul b din momentul W- cu traiectoriile schimbate.

• Particula C este de asemenea intr-o bucla infinita: pleaca din punctul b la momentul W- catre dreapta sus pana cand se ciocneste cu oglinda la punctul c. Apoi calatoreste in stanga sus pana ajunge in punctul b la momentul W+.  Apoi, particula C se ciocneste cu particula B, si ambele ajung in punctul b din momentul W- cu traiectoriile schimbate.

Rezolvarea paradoxului

Figura de mai sus demonstreaza ca exista un mod prin care putem avea scenarii consistente in universul pe care l-am creat, chiar daca particula A se afla pe o traiectorie ce ar duce, altfel, la un paradox.

Problema este ca avem un scenariu artificial: legile fizicii au conspirat, cumva, sa aiba particule care sa se ciocneasca cu particula A exact in locul potrivit la momentul potrivit pentru a nu permite paradoxului sa aiba loc - o armonie prestabilita. Cum rezolvam aceasta problema?

O astfel de armonie ar putea fi impusa restrictionand posibilele conditii initiale ale universului astfel incat daca avem o particula ce se va afla la un moment dat pe o traiectorie paradoxala, sa existe o alta particula pregatita sa o blocheze si sa o devieze de la acea traiectorie. Am introduce insa intentionalitate in acest univers: cineva ar trebui sa-l "gandeasca" astfel incat sa ia in calcul toate aceste lucruri - am avea o teorie neprincipiala.

Daca lucrurile stau astfel in universul nostru, ar insemna ca Bruno poate calatori inapoi in timp si poate incerca sa-si ucida bunicul numai daca circumstantele sunt astfel incat sa nu reuseasca.

Cum ar fi daca am putea scapa de aceasta armonie prestabilita? Surprinzator, o astfel de interpretare exista; cheia este cum iti alegi modul de caracterizare a universului:

Pentru a scapa de paradoxuri si pentru a nu fi nevoie de o armonie prestabilita, este imperativ sa nu decidem mai intai cate particule sa contina universul nostru (si sa asignam fiecareia o viteza si o pozitie) si apoi sa folosim legi care sa calculeze traiectoriile acestor particule. In schimb, trebuie ca mai intai sa desenam traiectoriile particulelor in spatiu-timp care sunt conforme cu legile universului si apoi sa folosim legile pentru a determina cate particule va trebui ca lumea noastra sa contina.

Daca facem acest lucru, atunci ar fi gresit sa credem ca am putea crea o lume precum cea descrisa mai sus in care sa existe o singura particula, dupa care sa ne intrebam ce se intampla cand aplicam legile fizicii pentru a calcula traiectoria acelei particule. In schimb, va trebui ca mai intai sa trasam traiectoriile in spatiu-timp a ceea ce vrem sa obtinem si apoi sa ajungem la concluzia ca, pe baza legilor fizicii, vom avea nevoie de trei particule in universul nostru, si nu de una singura.

Astfel, vom avea un univers consistent din punct de vedere logic, care permite calatoriile in timp, dar nu permite paradoxurile intr-o maniera principiala.

Mai mult, putem explica de ce nu exista nicio lume in care particula A sa completeze o traiectorie paradoxala, si explicatia este analoaga cu explicatia anterioara conform careia nu putem desena un patrat care sa fie cerc: la fel cum nu exista vreo distributie a particulelor care sa faca posibila existenta unui patrat care sa fie cerc, nu exista o distributie a particulelor si a traiectoriilor lor in spatiu-timp astfel incat sa existe o particula pe o traiectorie paradoxala si sa nu existe o particula care sa o blocheze.

Un alt lucru important de retinut este acela ca prezenta particulelor aditionale in gaura de vierme nu este cauzata de traiectoria paradoxala a particulei A. Particulele aditionale nu sunt un "mecanism anti-paradox" care e activat de traiectoria paradoxala a particulei A. Ceea ce se intampla de fapt este ca nu exista nicio distributie a particulelor in universul nostru astfel incat o particula sa se afle pe o traiectorie paradoxala si sa nu existe o alta particula care sa o opreasca. Aceasta este concluzia finala.

O problema insa cu aceasta concluzie este ca am lasat liberul arbitru deoparte - am considerat o lume in care lucrurile se intampla pe baza unor reguli clare, in care liberul arbitru nu are nimic de spus - particulele nu pot alege ce sa faca in continuare, ele fiind subjugate legilor fizicii din modelul nostru de univers.

Despre rezolvarea acestei probleme vom vorbi in urmatorul articol din aceasta serie.